В общем для меня оказалось ключевым моментом понять, что плоскость грани двойственного имеет нормаль, проходящую через вершину исходного. Опять сложно и непонятно? Тогда смотрим на рисунок:
В принципе, можно понять как это устроено. Внутри пентагонального икоситетраэдра просматривается разноцветный курносый куб. Грани двойственного проходят через вершины исходного. Если у Вас установлен современный браузер, поддерживающий технологию WebGL, то можно перейти по ссылке и поизучать интерактивную модель.
Как и следовало ожидать есть два зеркально симметричных многогранника, каждый из которых соответствует зеркальным близнецам курносого куба. Опять же трудно понять, какой из них левый, а какой правый!
Пентагональный икоситетраэдр (PentagonalIcosiTetraHedron) собирается из 24 пятиугольных граней, которые можно сгруппировать по четыре. Изображение многогранника раскрашено в соответствии с такой группировкой. Хорошо просматриваются кубические корни этого многогранника. Легко получаются звездчатые формы этого многогранника с кубической симметрией:
Острые пики этих многогранников соответствуют граням куба
Группировать грани можно тройками. В этом случае мы увидим четкую октаэдральную симметрию. Одна из звездчатых форм с октаэдральной симметрией:
Красные углы соответствуют граням октаэдра.
Но мы отвлеклись. Итак, имеем 24 пятиугольные грани, которые, пересекаясь в пространстве, образуют множество отсеков из которых можно собрать уйму красивых форм. Грани многогранника все одинаковые. Это однородный многогранник. Эпюра, следовательно, одна:
На рисунке показана центральная часть эпюры с перенумерованными многоугольниками.
Многогранник наследует несимметричность исходного курносого куба. Эпюра не обладает набором симметрий и обещает многогранные формы с "косой симметрией". На рисунке ниже можно увидеть всю эпюру целиком:
Перейдем к обзору "правильных" звездчатых форм. Правильными формами будем называть формы, которые получаются единичным продолжением граней исходного многогранника до пересечения. Строить будем рекурсивно. Нулевой звездчатой формой будет исходный многогранник. Первое продолжение граней приведет к образованию пятиугольных пирамидок над каждой из граней исходного многогранника. Получим первую звездчатую форму пентагонального икоситетаэдра:
Составляющие части пятиугольных пирамид можно найти на эпюре ниже. Они соответствуют желтым треугольникам окружающими исходный красный пятиугольник грани.
Номера треугольников первого пояса 1, 2, 3, 4, 5. Присваиваем полученному многограннику код: {(1,2,3,4,5)}. Видим, что исходный многогранник как бы вложен в первую звездчатую форму. На ребрах исходного многогранника опираются пятиугольные пирамидки первой звездчатой формы.
Следующая форма получается дальнейшим продолжением граней. На эпюре мы видим зеленый "поясок" многоугольников опоясывающий треугольники предыдущей звездчатой формы:
В итоге получаем многогранник "Вторая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра":
Код этого многогранника: {(6,7,8,9,10,11)}. На рисунке четко видны пятиугольные звезды неправильной формы.
В общем, идея получения следующей звездчатой формы должна быть интуитивно понятна. К пояску многоугольников предыдущей формы добавляем многоугольники следующего слоя. И т. д., пока эпюра не закончится. Все полученные таким образом многогранники вкладываются друг в друга как матрешки.
На десятом шаге мы обнаружим, что для некоторых многоугольников уже не найдется продолжения. Таким образом, смогли получить только девять форм. На рисунке снизу представлен набор всех девяти колец, образующих девять правильных звездчатых форм пентагонального икоситетраэдра:
Последняя, девятая форма отличается хаосом острых игл. Чем-то напомнило мне астероид из Армаггедона. Можно назвать этот многогранник многогранником Брюса У.
Остальные звездчатые фомы сведены в таблицу. Все это не означает, что у этого многогранника всего девять форм. Остальные можно получить используя другие алгоритмы получения замкнутых тел. Общее количество многогранных форм, которые можно получить мне неизвестно.
Все представленные многогранные формы можно рассмотреть в интерактивном режиме, если, конечно, Ваш браузер поддерживает технологию WebGL.